Question

【题目】已知椭圆：在左、右焦点分别为，，上顶点为点，若是面积为的等边三角形.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知，是椭圆上的两点，且，求使的面积最大时直线的方程（为坐标原点）.

Answer 1

【答案】解（1）；（2）或.

【解析】

（1）由是面积为的等边三角形，结合性质 ，列出关于 、 的方程组，求出 、，即可得结果;（2）先证明直线的斜率存在，设直线的方程为，与椭圆方程联立消去，利用弦长公式可得 ，化简得.原点到直线的距离为，的面积，当最大时，的面积最大.由，利用二次函数的性质可得结果.

（1）由是面积为的等边三角形，得，

所以，，从而，

所以椭圆的标准方程为.

（2）由（1）知，当轴时，，则为椭圆的短轴，故有，，三点共线，不合题意.

所以直线的斜率存在，设直线的方程为，点，点，联立方程组消去，得，

所以有，，

则 ，

即，化简得.

因为，所以有且.

原点到直线的距离为，的面积，

所以当最大时，的面积最大.

因为，而，

所以当时，取最大值为3，面积的最大值.

把代入，得，所以有，

即直线的方程为或.