Question

14．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1，-1≤x＜0}\\{g（x），0＜x≤1}\end{array}\right.$为奇函数，则函数y=2^g（x）的值域为（1，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 根据f（x）为奇函数，可先求出g（x）：设0＜x≤1，便有-1≤-x＜0，从而根据f（x）的解析式可以求出f（-x）=2^-x-1=-f（x），这样即可求出g（x），并且对应的x∈（0，1]，这样可根据指数函数的单调性求出g（x）在（0，1]上的值域，从而再根据指数函数的单调性求出函数y=2^g（x）的值域．

解答 解：∵f（x）为奇函数；
∴f（-x）=-f（x）；
设0＜x≤1，则-1≤-x＜0；
∴f（-x）=2^-x-1=-f（x）；
∴f（x）=1-2^-x；
即g（x）=1-2^-x，0＜x≤1；
∴$y={2}^{g（x）}={2}^{（1-{2}^{-x}）}$；
0＜x≤1；
∴-1≤-x＜0；
∴$\frac{1}{2}≤{2}^{-x}＜1$；
∴$0＜1-{2}^{-x}≤\frac{1}{2}$；
∴${2}^{0}＜{2}^{（1-{2}^{-x}）}≤{2}^{\frac{1}{2}}$；
∴$1＜y≤\sqrt{2}$；
∴该函数的值域为：（1，$\sqrt{2}$]．
故答案为：（1，$\sqrt{2}$]．

点评 考查函数值域的概念，奇函数的概念，以及对于奇函数已知一边区间上的解析式求函数在对称区间上解析式的方法和过程，根据指数函数的单调性求值域，本题要注意g（x）的定义域．