Question

15．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=3a_n+2n，求通项a_n．

Answer 1

分析 根据数列的递推关系，利用构造法转化为等比数列进行求解即可．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1=3a_n+2n，
∴a_n+1+（n+1）=3a_n+3n+1=3（a_n+n）+1，
即a_n+1+（n+1）+$\frac{1}{2}$=3（a_n+n$+\frac{1}{2}$），
即数列{a_n+n$+\frac{1}{2}$}是公比q=3的等比数列，首项为a₁+1$+\frac{1}{2}$=1+1$+\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
则a_n+n$+\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$•3^n-1，
则a_n=$\frac{5}{2}$•3^n-1-n-$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查数列的通项公式的求解，根据数列的递推关系结合等比数列的通项公式是解决本题的关键．