Question

（2006•广州模拟）已知函数f（x）=sin2x-cos2x，（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）的最大值，并求此时自变量x的集合．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将函数f（x）=sin2x-cos2x，化为：f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）（x∈R）即可求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=

2

sin（2x-

π

4

），从而可求得其最大值及此时自变量x的集合．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x-cos2x=

2

sin（2x-

π

4

）（x∈R）（x∈R）． 
∴f（x）的最小正周期为：T=

2π

2

=π．．             
（Ⅱ）∵f（x）=sin2x-cos2x=

2

sin（2x-

π

4

）（x∈R）（x∈R）． 
∴f（x）的最大值为

2

，…（7分）
此时2x-

π

4

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

3π

8

，（k∈Z）．
∴f（x）的最大值为

2

时，自变量x的集合为{x|x=kπ+

3π

8

，k∈Z}．

点评：本题考查正弦函数的定义域和值域，难点在于利用辅助角公式将函数f（x）=sin2x-cos2x化为：f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）（x∈R），再按题意解决问题，属于基础题．