Question

设函数f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）当x∈[

1

e

-1，e-1]时，求f（x）的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）由x+1＞0，得：f（x）定义域为（-1，+∞）…（2分）f′(x)=2[(x+1)-

1

x+1

]=

2x(x+2)

x+1

，x∈（-1，+∞）…（4分）
由f′(x)=

2x(x+2)

x+1

＞0，x+1＞0得x＞0…（6分）
所以f（x）递增区间是[0，+∞）…（7分）
（Ⅱ）由f'（x）＜0，x+1＞0，得-1＜x＜0．所以f（x）递减区间是（-1，0）．…（9分）
∴f（x）在[

1

e

-1，0)上递减，在[0，e-1]上递增．…（11分）
又f（

1

e

-1）=

1

e 2

+2，f（e-1）=e²-2，
且e²-2＞

1

e 2

+2．
∴当x∈[

1

e

-1，e-1]时，[f（x）]_max=e²-2…（14分）