Question

设对于任意实数x，不等式|x+7|+|x-1|≥m恒成立．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取最大值时，解关于x的不等式：|x-3|-2x≤2m-12．

Answer 1

分析：（1）要使不等式|x+7|+|x-1|≥m恒成立，需f（x）=|x+7|+|x-1|的最小值大于或等于m，问题转化为求f（x）的最小值．
（2）当m取最大值8时，原不等式等价于：|x-3|-2x≤4，去掉绝对值符号，解此不等式．

解答：解：（1）设f（x）=|x+7|+|x-1|，则有f（x）=

-6-2x，x≤-7 8，-7≤x≤1 2x+6，x≥1

，
当x≤-7时，f（x）有最小值8；当-7≤x≤1时，f（x）有最小值8；
当x≥1时，f（x）有最小值8．综上f（x）有最小值8，所以，m≤8．
（2）当m取最大值时m=8，原不等式等价于：|x-3|-2x≤4，
等价于：

x≥3 x-3-2x≤4

，或

x≤3 3-x-2x≤4

，
等价于：x≥3或-

1

3

≤x≤3，
所以原不等式的解集为{x|x≥-

1

3

}．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，以及恒成立问题，体现了等价转化的数学思想．