Question

若数列满足：存在正整数，对于任意正整数都有成立，则称数列为周期数列，周期为. 已知数列满足，现给出以下命题：

①若，则可以取3个不同的值

②若，则数列是周期为的数列

③且，存在，是周期为的数列

④且，数列是周期数列.其中所有真命题的序号是 .

 

Answer 1

①②③

【解析】对于①，根据条件，当m＞2时，有a2＝m－1＞1，a3＝m－2，于是m－2＝4，有m＝6满足条件；当m∈（1，2]时，有a2＝m－1∈（0，1]，则a3＝，于是＝4，m＝满足条件；若m＝1，则an＝1恒成立，不可能有a3＝4，当m∈（0，1）时，有a2＝＞1，a3＝－1，于是－1＝4，m＝满足条件.故①正确.

对于②，逐个推导可得：a1＝，a2＝－1，a3＝，a4＝， 是周期为3的周期数列.故②正确

对于③，要想使得{an}是周期为T的周期数列，因为m＞1，故只需使得aT＝，则aT＋1＝m，而m＞1，可使得aT＝m－（T－1），即m－（T－1）＝，于是m2－（T－1）m－1＝0，该关于m的方程两根之积为－1，必为异号两根，而根之和为T－1≥1，故其正根m必定大于1，满足条件，故③正确；

对于④，仿照③可知，当T＝1时，m＝1不满足条件

当T∈N*且T≥2时，若m为整数，则必定在若干项以后出现an＝1，之后成为常数数列，不合题意，

故m为非整数，且m＝（舍负），

要使得m∈Q，则必为有理数（且为整数），令其为n，且T－1＋n不是偶数，否则m为整数，即T＋n是偶数，所以，T与n同奇或同偶

由T2－2T＋5＝n2知，T与n不能同为偶数，

当T为奇数时，T2是奇数，等式左边是偶数，这与n2为奇数矛盾

综上，这样的条件不可能满足.故④错误

考点：分段数列，周期性，数列综合问题