题目内容

已知函数f(x)=kx，g(x)=
lnx
x
．
（Ⅰ）求函数g(x)=
lnx
x
的单调区间；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）在区间（0，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围．
分析：（Ⅰ）由g（x）=
lnx
x
，知g′(x)=
1-lnx
x2
，由此能求出函数g(x)=
lnx
x
的单调区间．
（Ⅱ）由x＞0，kx≥
lnx
x
，知k≥
lnx
x2
，令h(x)=
lnx
x2
x=
e
，知h′(x)=
1-2lnx
x3
，由此能求出实数k的取值范围．
解答：（本题满分12分）
解：（Ⅰ）∵g（x）=
lnx
x
，x＞0，故其定义域为（0，+∞）
∴g′(x)=
1-lnx
x2
，
令g′（x）＞0，得0＜x＜e
令g′（x）＜0，得x＞e
故函数g(x)=
lnx
x
的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．
（Ⅱ）∵x＞0，kx≥
lnx
x
，∴k≥
lnx
x2
，
令h(x)=
lnx
x2
x=
e

又h′(x)=
1-2lnx
x3
，
令h′（x）=0，解得x=
e
，
当x在（0，+∞）内变化时，h′（x），h（x）变化如下表
x (0，
e
)
e
 (
e
，+∞)
h′（x） + 0 -
h（x） ↗
1
2e
 ↘
由表知，当时函数h（x）有最大值，且最大值为
1
2e

所以k≥
1
2e
．
点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用，考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
练习册系列答案
相关题目
给出下列命题：
（1）函数f(x)=log3(x2-2x)的单调减区间为（-∞，1）；
（2）已知P：|2x-3|＞1，q：
1
x2+x-6
＞0，则p是q的必要不充分条件；
（3）命题“?x∈R，sinx≤
1
2
”的否定是：“?x∈R，sinx＞”；
（4）已知函数f(x)=
3
sinωx+cosωx(ω＞0)，y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则y=f（x）的单调递增区间是[kπ-
π
3
，kπ+
π
6
]，k∈z；
（5）用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•3…（2n-1）（n∈N*）时，从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的一个因式是2（2k+1）；
其中所有正确的个数是（　　）
已知函数f(x)=
4x
4x+2

（1）试求f(
1
n
)+f(
n-1
n
)(n∈N*)的值；
（2）若数列{an}满足an=f（0）+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f（1）（n∈N*），求数列{an}的通项公式；
（3）若数列{bn}满足bn=2n+1•an，Sn是数列{bn}前n项的和，是否存在正实数k，使不等式knSn＞4bn对于一切的n∈N*恒成立？若存在指出k的取值范围，并证明；若不存在说明理由．
（2004•黄浦区一模）已知函数f(x)=k+
x
，存在区间[a，b]⊆[0，+∞），使f（x）在[a，b]上的值域仍是[a，b]，求实数k的取值范围．
已知函数f(x)=k[(logax)2+(logxa)2]-(logax)3-(logxa)3，g（x）=（3-k2）（logax+logxa），（其中a＞1），设t=logax+logxa．
（Ⅰ）当x∈（1，a）∪（a，+∞）时，试将f（x）表示成t的函数h（t），并探究函数h（t）是否有极值；
（Ⅱ）当x∈（1，+∞）时，若存在x0∈（1，+∞），使f（x0）＞g（x0）成立，试求k的范围．
已知函数f(x)=+k定义域为D，且方程f(x)=x在D上有两个不等实根，则k的取值范围是
[     ]
A.-1＜k≤
B.≤k＜1
C.k＞-1
D.k＜1

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网