Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（是参数），以原点为极点，轴的非负半轴

为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（Ⅰ）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）设点在曲线上，曲线在点处的切线与直线垂直，求点的直角坐标．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）或

【解析】

（Ⅰ）根据直线参数方程消去参数，即可求出直线普通方程；根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求出直角坐标方程；

（Ⅱ）设点，根据题意，得到，再由点在曲线：上，列出方程组，求解，即可得出结果.

（Ⅰ）由消去参数，得，即，

所以直线的普通方程是．

由，得，

根据公式得，所以曲线的直角坐标方程是．

（Ⅱ）对于直线的参数方程为（是参数），因为，所以直线的斜率是．

因为曲线在处的切线与直线垂直，又曲线在处的切线与垂直，

所以直线与直线平行．

所以直线与直线的斜率相等．所以直线的斜率．

设点，则，整理得．

又因为点在曲线：上，

所以其坐标必然满足曲线的方程：，代入得．

联立解得或．

所以点的直角坐标为或