Question

已知数列{a_n}中，（n∈N₊，n≥2），且，
（1）求证：k=1；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求数列的前n项和．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用数列递推式，确定k+1=a₂=2k，即可求得结论；
（2）利用叠乘法，可求数列{a_n}的通项公式；
（3）分类讨论，利用错位相减法可求数列的前n项和．
解答：（1）证明：∵，∴，
又∵（n∈N₊，n≥2）
∴，∴，
∵，∴a₂=2k．
∴k+1=a₂=2k，∴k=1．
（2）解：，=n•（n-1）•…•2•1=n!
（3）解：设数列的前n项和为S_n，
因为，所以，当x=1时，，
当x≠1时，①
①•x得+nxⁿ②
由①-②得：-
∴
综上所述：S_n=
点评：本题考查数列递推式，考查叠乘法的运用，考查错位相减法求数列的和，正确运用求通项与求和的方法是关键．