Question

在五边形ABCDE中（图一），BD是AC的垂直平分线，O为垂足．ED∥AC，AE∥BD，AB⊥BC，P为AB的中点．沿对角线AC将四边形ACDE折起，使平面ACDE⊥平面ABC（图二）．     
（1）求证：PE∥平面DBC；
（2）当AB=

2

AE时，求直线DA与平面DBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）证明四边形PMDE为平行四边形，可得EP∥DM，利用线面平行的判定定理，可得PE∥平面DBC；
（2）建立空间直角坐标系，设|AE|=2，则AB=2

2

，求出平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线DA与平面DBC所成角的正弦值．

解答：（1）证明：设M为BC中点，连PM，DM  依题意，ED

∥ .

.

1

2

AC
∵P、M分别为AB、BC的中点，∴PM

∥ .

.

1

2

AC
∴ED

∥ .

.

PM，…（3分）
∴四边形PMDE为平行四边形，∴EP∥DM
又DM?平面DBC，PE?平面DBC，
∴PE∥平面DBC…（5分）
（2）解：以点O为原点，直线OA、OB、OD所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设|AE|=2，则A（2，0，0）、B（0，2，0）C（-2，0，0）、
D（0，0，2）、E（2，0，2）、P（1，1，0）…（6分）
∴

DA

=(2，0，-2)、

BC

=(-2，-2，0)、

DB

=(0，2，-2)…（7分）
设平面PBC的法向量为

n

=(x，y，z)，
则由

n • BC =0 n • DB =0

，得

x+y=0 y-z=0

，…（9分）
令x=1，则y=z=-1，∴

n

=(1，-1，-1)，
∴cos＜

DA

，

n

＞=

DA • n

| DA || n |

=

6

3

，
∴直线DA与平面DBC所成角的正弦值为

6

3

．…（12分）

点评：本题考查线面平行，考查线面角，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，确定平面的法向量是关键．