Question

已知球的表面积为20π,球面上有A、B、C三点,如果AB=AC=2,BC=,求球心到平面ABC的距离.

Answer 1

解析:求出球的半径R及过A、B、C三点的外接圆的半径r,利用d、r、R的关系即可求出d.

如图,设球的球心是O,由于O到A、B、C的距离都是球的半径R,所以O在平面ABC内的射影O′是△ABC的外心.

在△ABC中,由余弦定理得

cos∠BAC=,

∴∠BAC=120°.

设△ABC的外接圆的半径为r,则,

∴=2r.∴r=2.

∵S_球=4πR²=20π,∴R²=5.

∴球心O到平面ABC的距离OO′=R²-r²=5-4=1.

小结：本题的解题过程是利用正弦定理、余弦定理求出△ABC的外接圆的半径r,利用球面的面积公式求出球的半径R,再利用球半径、截面圆半径及球心到截面之间的关系求出要求的距离,也可以利用等腰三角形的性质,求出底边高,再利用外接圆半径都相等,也可以利用直角三角形的勾股定理列方程求解.