Question

如图，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的各棱长都等于2，D在AC₁上，F为BB₁中点，且FD⊥AC₁．

(1)试求的值；

(2)求二面角F－AC₁－C的大小；

(3)求点C₁到平面AFC的距离．

Answer 1

答案：
解析：

解(解法一)(1)连AF，FC1，因为三棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱且各棱长都等于2，又F为BB1中点，∴Rt△ABF≌Rt△C1B1F， 　　∴AF＝FC1．又在△AFC1中，FD⊥AC1， 　　所以D为AC1的中点，即．(4分) 　　(2)取AC的中点E，连接BE及DE， 　　则得DE与FB平行且相等，所以四边形DEBF是平行四边形，所以FD与BE平行． 　　因为三棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱， 　　所以△ABC是正三角形，∴BE⊥AC，∴FD⊥AC，又∵FD⊥AC1，∴FD⊥平面ACC1， 　　∴平面AFC1⊥平面ACC1　所以二面角F－AC1－C的大小为　　(9分) 　　(3)运用等积法求解：AC＝2，AF＝CF＝，可求， 　　， 　　，得　　(12分) 　　(解法二)取BC的中点O，建立如图所示的空间直欠坐标系． 　　由已知得 　　(1)设，则， 　　得， 　　 　　 　　即 　　解得，即．　　(4分) 　　(2)设平面FAC1的一个法向量为 　　，由得， 　　又由，得， 　　仿上可得平面ACC1的一个法向量为　　(6分) 　　．故二面角F－AC1－C的大小为　　(8分)