Question

已知数列{a_n}中，S_n是它的前n项和，并且S_n+1=4a_n+2，a₁=1．
（1）设b_n=a_n+1﹣2a_n，求证{b_n}是等比数列
（2）设，求证{C_n}是等差数列
（3）求数列{a_n}的通项公式及前n项和公式

Answer 1

解：（1）S_n+1=S_n+a_n+1=4a_n﹣1+2+a_n+1
∴4a_n+2=4a_n﹣1+2+a_n+1
∴a_n+1﹣2a_n=2（a_n﹣2a_n﹣1）
即：且b₁=a₂﹣2a₁=3
∴{b_n}是等比数列
（2）{b_n}的通项b_n=b_1·q^n﹣1=3·2^n﹣1
∴
又 ∴{C_n}为等差数列
（3）∵C_n=C₁+（n﹣1）·d
∴
∴a_n=（3n﹣1）·2^n﹣2（n∈N*）
S_n+1=4·a_n+2=4×（3n﹣1）×2^n﹣2+2=（3n﹣1）×2ⁿ+2
∴S_n=（3n﹣4）2^n﹣1+2（n∈N*）