Question

已知抛物线y²=4x的焦点为椭圆C的右焦点，且C的离心率e=，直线y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，射线MO交C于点N．
（Ⅰ）试求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）试证在（I）的条件下，椭圆C在点N处的切线与AB平行．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据题意可得椭圆的半焦距c=1，结合椭圆的离心率与椭圆中a、b与c的关系可得椭圆的方程．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），N（x₃，y₃），并且设椭圆在N出的切线斜率为K′，联立直线与椭圆的方程结合根与系数的关系可得，因为由题意可得，N点在椭圆的下半部分，所以由可得y=-，利用导数求出在N点的切线的斜率，由M、O、N三点共线，则有，所以K_AB=K′，进而即可证明结论正确．
解答：解：（I）设椭圆方程为，
因为抛物线y²=4x的焦点为（1，0），
所以半焦距c=1．
又离心率，
∴a=2，∴b²=a²-c²=3
∴椭圆方程为
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），N（x₃，y₃），并且设椭圆在N出的切线斜率为K′，
则，
，
即有．
因为由题意可得，N点在椭圆的下半部分，
所以由可得y=-
所以，
所以，
又因为M、O、N三点共线，则有，所以K_AB=K′，
即椭圆C在点N处的切线与AB平行．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆中相关数值的相互关系，以及当椭圆与直线相交时的弦中点问题，并且熟练掌握导数的几何意义．