Question

已知△ABC的三边长|CB|，|AB|，|CA|成等差数列，若点A，B的坐标分别为（-1，0），（1，0）．
（Ⅰ）求顶点C的轨迹W的方程；
（Ⅱ）若线段CA的延长线交轨迹W于点D，当2≤|CB|＜

5

2

时，求线段CD的垂直平分线l与x轴交点的横坐标的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆的定义求轨迹方程．
（2）设出直线AC方程，代入椭圆，据根与系数的关系求出CD中点的坐标，得到CD垂直平分线l的方程，令y=0，得l与x轴交点的横坐标解析式，利用导数判断解析式的单调性，据单调性得出l与x轴交点的横坐标的取值范围．

解答：解：
（Ⅰ）因为|CB|，|AB|，|CA|成等差数列，
点A、B的坐标分别为（-1，0），（1，0）
所以|CB|+|CA|=2|AB|=4且4＞|AB|
由椭圆的定义可知点C的轨迹是以A，B为焦点、长轴为4的椭圆（去掉长轴的端点），
所以a=2，c=1，b=

3

．
故顶点C的轨迹W方程为

x2

4

+

y2

3

=1 (y≠0)．（4分）
（Ⅱ）由题意可知直线AC的斜率存在，设直线AC方程为y=k（x+1）．
由

y=k(x+1) x2 4 + y2 3 =1

得 （3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
设C，D两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则x1+x2=

-8k2

3+4k2

，y1+y2=k(x1+x2+2)=

6k

3+4k2

，
所以线段CD中点E的坐标为(

-4k2

3+4k2

，

3k

3+4k2

)，
故CD垂直平分线l的方程为y-

3k

3+4k2

=-

1

k

(x+

4k2

3+4k2

)，
令y=0，得l与x轴交点的横坐标为x=-

k2

3+4k2

=-

1

3 k2 +4

，
由2≤|CB|＜

5

2

得2≤

1

2

(4-x1)＜

5

2

，解得-1＜x₁≤0，
又因为k2=

y 2 1

(x1+1)2

=

12-3 x 2 1

4(x1+1)2

，所以(k2)′=

-3x1-12

2(x1+1)3

．
当-1＜x₁≤0时，有(k2)′=

-3x1-12

2(x1+1)3

＜0，此时函数k2=

12-3 x 2 1

4(x1+1)2

递减，
所以k²≥3．所以，-

1

4

＜-

1

3 k2 +4

≤-

1

5

．
故直线l与x轴交点的横坐标的范围是(-

1

4

，-

1

5

]．（13分）

点评：本题考查等差数列的性质、椭圆的定义，直线与圆锥曲线的综合应用．