若对任意x∈A.y∈B.有唯一确定的f(x.y)与之对应.则称f(x.y)为关于x.y的二元函数．定义:满足下列性质的二元函数f(x.y)为关于实数x.y的广义“距离 :≥0.当且仅当x=y时取等号,=f(y.x),≤f对任意的实数z均成立．给出三个二元函数:①f2,②f(x.y)=|x-y|, ③f(x.y)=x-y．请选出所有能够成为关于x.y� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

若对任意x∈A，y∈B，（A⊆R，B⊆R）有唯一确定的f（x，y）与之对应，则称f（x，y）为关于x，y的二元函数．
定义：满足下列性质的二元函数f（x，y）为关于实数x，y的广义“距离”：
（1）非负性：f（x，y）≥0，当且仅当x=y时取等号；
（2）对称性：f（x，y）=f（y，x）；
（3）三角形不等式：f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）对任意的实数z均成立．
给出三个二元函数：①f（x，y）=（x-y）²；②f（x，y）=|x-y|； ③f（x，y）=

x-y

．
请选出所有能够成为关于x，y的广义“距离”的序号

②

．

分析：利用函数f（x，y）为关于实数x、y的广义“距离“的定义需满足三个条件对各个函数判断是否具有这三个性质．

解答：解：对于①，不妨令x-y=2，则有x-

x+y

-y=1，此时有（x-y）²=4，而　（x-

x+y

）²=（

x+y

-y）²=1，故f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）不成立，所以不满足三角不等式，故①不满足
对于②，f（x，y）=|x-y|≥0满足（1）；f（x，y）=|x-y|=f（y，x）=|y-x|满足（2）；f（x，y）=|x-y|=|（x-z）+（z-y）|≤|x-z|+|z-y|=f（x，z）+f（z，y）满足（3），故②能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数
对于③，由于x-y＞0时，f(y，x)=

y-x?

无意义，故③不满足
故答案为：②

点评：本题考查理解题中的新定义，利用定义解题是近几年的高考中是常考的题型，要注意．解题的关键是要把已知的定义转化为解题的工具．