题目内容

已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4-x），且当x≠2时其导函数f′（x）满足（x-2）f'（x）＞0，若2＜a＜4则（　　）
A．f（2a）＜f（3）＜f（log2a）B．f（log2a）＜f（3）＜f（2a）
C．f（3）＜f（log2a）＜f（2a）D．f（log2a）＜f（2a）＜f（3）
函数f（x）对定义域R内任意x都有f（x）=f（4-x），
即函数图象的对称轴是x=2
∵（x-2）f'（x）＞0
∴x＞2时，f'（x）＞0，x＜2时，f'（x）＜0
即 f（x）在（-∞，2）上递减，在（2，+∞）上递增
∵2＜a＜4
∴1＜log2a＜2＜3＜4＜2a
∴f(log2a)＜f(3)＜f(2a)．
故选B．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=x2+（a-3）x+a2-3a（a为常数）．
（1）如果对任意x∈[1，2]，f（x）＞a2恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设实数p，q，r满足：p，q，r中的某一个数恰好等于a，且另两个恰为方程f（x）=0的两实根，判断①p+q+r，②p2+q2+r2，③p3+q3+r3是否为定值？若是定值请求出：若不是定值，请把不是定值的表示为函数g（a），并求g（a）的最小值；
（3）对于（2）中的g（a），设H(a)=-
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[g(a)-27]，数列{an}满足an+1=H（an）（n∈N*），且a1∈（0，1），试判断an+1与an的大小，并证明之．
（2012•湖南）已知函数f（x）=eax-x，其中a≠0．
（1）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合．
（2）在函数f（x）的图象上取定两点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）（x1＜x2），记直线AB的斜率为K，问：是否存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）＞k成立？若存在，求x0的取值范围；若不存在，请说明理由．
已知函数f（x）=lnx+ax．
（I）若对一切x＞0，f（x）≤1恒成立，求a的取值范围；
（II）在函数f（x）的图象上取定两点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x）2）（x1＜x2），记直线AB的斜率为k，证明：存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）=k成立．
已知函数f（x）=
1
3
x3+
a-3
2
x2+（a2-3a）x-2a
（1）如果对任意x∈（1，2]，f'（x）＞a2恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设实数f（x）的两个极值点分别为x1x2判断①x1+x2+a②x12+x22+a2③x13+x23+a3是否为定值？若是定值请求出；若不是定值，请把不是定值的表示为函数g（a）并求出g（a）的最小值；
（3）对于（2）中的g（a），设H（x）=
1
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[g（x）-27]，m，n∈（0，1）且m≠n，试比较|H（m）-H（n）|与|em-en|（e为自然对数的底）的大小，并证明．
已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b为实常数）的零点与函数g（x）=2x2+4x-30的零点相同，数列{an}，{bn}定义为：a1=
1
2
，2an+1=f（an）+15，bn=
1
2+an
（n∈N*）．
（1）求实数a，b的值；
（2）若将数列{bn}的前n项和与数列{bn}的前n项积分别记为Sn，Tn证明：对任意正整数n，2n+1Tn+Sn为定值；
（3）证明：对任意正整数n，都有2[1-（
4
5
）n]≤Sn＜2．

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