Question

（2012•湖南）已知函数f（x）=e^ax-x，其中a≠0．
（1）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合．
（2）在函数f（x）的图象上取定两点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）（x₁＜x₂），记直线AB的斜率为K，问：是否存在x₀∈（x₁，x₂），使f′（x₀）＞k成立？若存在，求x₀的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先确定a＞0，再求导函数，确定函数的单调性，可得x=

1

a

ln

1

a

时，f（x）取最小值f(

1

a

ln

1

a

)=

1

a

-

1

a

ln

1

a

故对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，则

1

a

-

1

a

ln

1

a

≥1，构建新函数g（t）=t-tlnt，则g′（t）=-lnt，确定函数的单调性，求出函数的最大值，由此即可求得a的取值集合；
（2）由题意知，k=

eax2-eax1

x2-x1

-1，构建新函数φ（x）=f′（x）-k=aeax-

eax2-eax1

x2-x1

，则φ(x1)=-

eax1

x2-x1

[ea(x2-x1)-a(x2-x1)-1]，φ(x2)=

eax2

x2-x1

[ea(x1-x2)-a(x1-x2)-1]，构建函数F（t）=e^t-t-1，从而可证明φ（x₁）＜0，φ（x₂）＞0，由此即可得到存在x₀∈（x₁，x₂），使f′（x₀）＞k成立．

解答：解：（1）若a＜0，则对一切x＞0，函数f（x）=e^ax-x＜1，这与题设矛盾，
∵a≠0，∴a＞0
∵f′（x）=ae^ax-1，令f′（x）=0，可得x=

1

a

ln

1

a

令f′（x）＜0，可得x＜

1

a

ln

1

a

，函数单调减；令f′（x）＞0，可得x＞

1

a

ln

1

a

，函数单调增，
∴x=

1

a

ln

1

a

时，f（x）取最小值f(

1

a

ln

1

a

)=

1

a

-

1

a

ln

1

a

∴对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，则

1

a

-

1

a

ln

1

a

≥1①
令g（t）=t-tlnt，则g′（t）=-lnt
当0＜t＜1时，g′（t）＞0，g（t）单调递增；当t＞1时，g′（t）＜0，g（t）单调递减
∴t=1时，g（t）取最大值g（1）=1
∴当且仅当

1

a

=1，即a=1时，①成立
综上所述，a的取值集合为{1}；
（2）由题意知，k=

eax2-eax1

x2-x1

-1
令φ（x）=f′（x）-k=aeax-

eax2-eax1

x2-x1

，则φ(x1)=-

eax1

x2-x1

[ea(x2-x1)-a(x2-x1)-1]
φ(x2)=

eax2

x2-x1

[ea(x1-x2)-a(x1-x2)-1]
令F（t）=e^t-t-1，则F′（t）=e^t-1
当t＜0时，F′（t）＜0，函数单调减；当t＞0时，F′（t）＞0，函数单调增；
∴t≠0时，F（t）＞F（0）=0，即e^t-t-1＞0
∴ea(x2-x1)-a(x2-x1)-1＞0，ea(x1-x2)-a(x1-x2)-1＞0
∵

eax1

x2-x1

＞0，

eax2

x2-x1

＞ 0
∴φ（x₁）＜0，φ（x₂）＞0
∴存在c∈（x₁，x₂），φ（c）=0
∵φ′（x）单调递增，故这样的c是唯一的，且c=

1

a

ln

eax2-eax1

a(x2-x1)

当且仅当x∈（

1

a

ln

eax2-eax1

a(x2-x1)

，x₂）时，f′（x）＞k
综上所述，存在x₀∈（x₁，x₂），使f′（x₀）＞k成立，且x₀的取值范围为（

1

a

ln

eax2-eax1

a(x2-x1)

，x₂）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查构建新函数确定函数值的符号，从而使问题得解．