题目内容
如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，K，L分别为平行六面体棱的中点．求证，（1）
| LE |
| FG |
| HK |
| 0 |
（2）E，F，G，H，K，L六点共面．
分析：（1）通过空间向量基本定理，利用基底表示
，
，
即可得到三者的关系．
（2）利用公理2的推论可得四点共面，然后利用同一法可证得E，F，G，H，L六点共面．
| LE |
| FG |
| HK |
（2）利用公理2的推论可得四点共面，然后利用同一法可证得E，F，G，H，L六点共面．
解答：证明：（1）设
=
，
=
，
=
，
则
=
+
=
+
=-
-
，
=-
+
=
-
，
=
+
=
+
，
∴
+
+
=
（2）∵
=
+
，
∴
=
，∴EF∥HK 由公理2可知，E，F，H，K四点共面．
连接AC，FK，∵G，H为AB，BC的中点∴GH∥AC
∵AF∥CK AF=CK∴四边形ACKF为平行四边形∴AC∥FK
∴GH∥FK∴F，G，H，K四点共面
由公理2知：过不共线的三点有且只有一个平面，∴E，F，G，H，K，L六点共面．
| AB |
| a |
| AD |
| b |
| AA1 |
| c |
则
| LE |
| LD1 |
| D1E |
| 1 |
| 2 |
| CD |
| 1 |
| 2 |
| DA |
| 1 |
| 2 |
| a |
| 1 |
| 2 |
| b |
| FG |
| 1 |
| 2 |
| AB |
| 1 |
| 2 |
| AA1 |
| 1 |
| 2 |
| a |
| 1 |
| 2 |
| c |
| HK |
| 1 |
| 2 |
| BC |
| 1 |
| 2 |
| CC1 |
| 1 |
| 2 |
| b |
| 1 |
| 2 |
| c |
∴
| LE |
| FG |
| HK |
| 0 |
（2）∵
| FE |
| 1 |
| 2 |
| b |
| 1 |
| 2 |
| c |
∴
| FE |
| HK |
连接AC，FK，∵G，H为AB，BC的中点∴GH∥AC
∵AF∥CK AF=CK∴四边形ACKF为平行四边形∴AC∥FK
∴GH∥FK∴F，G，H，K四点共面
由公理2知：过不共线的三点有且只有一个平面，∴E，F，G，H，K，L六点共面．
点评：本题主要考查空间点，线，面的位置关系以及空间向量的运算，注意利用公理2确定平面的方法，是个基础题．
练习册系列答案
相关题目
如图：在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若| AB |
| a |
| AD |
| b |
| AA1 |
| c |
| BM |
A、-
| ||||||||||
B、
| ||||||||||
C、-
| ||||||||||
D、
|
如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，已知| AB |
| AD |
| AA1 |
| a |
| b |
| c |
| BD1 |
A、
| ||||||
B、
| ||||||
C、
| ||||||
D、-
|
对于向量a，b，定义a×b为向量a，b的向量积，其运算结果为一个向量，且规定a×b的模|a×b|=|a||b|sinθ（其中θ为向量a与b的夹角），a×b的方向与向量a，b的方向都垂直，且使得a，b，a×b依次构成右手系．如图，在平行六面体ABCD-EFGH中，∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°，AB=AD=AE=2，则
如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，若| AB |
| a |
| AD |
| b |
| AA1 |
| c |
| D1B |
A、
| ||||||
B、
| ||||||
C、
| ||||||
D、-
|
（2001•上海）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若