Question

已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点.设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距.

⑴用和表示；

⑵求对所有都有成立的的最小值；

⑶当时，比较与

的大小，并说明理由.

Answer 1

【解析】⑴由已知得，交点的坐标为，对求导得，

则抛物线在点处的切线方程为，即，则.

⑵由⑴知，则成立的充要条件是.

即对所有的都成立.特别地,取得到.

当,时,.当时，.

故时, 对所有自然数均成立.所以满足条件的的最小值为.

⑶由⑴知.

下面证明:.

首先证明:当时，.

设函数，，则.

当时，；当时，.

故在区间的最小值.

所以,当时, ，即得.

由知,因此，从而

.