Question

（本小题满分15分）设为数列的前项和，（为常数且，）.
(Ⅰ)若，求的值；
（Ⅱ）对于满足（Ⅰ）中的，数列满足，且.若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）因为，
所以，，.………4分
由可知：.         
所以，，.
因为，  所以.
所以.         ……7分
（Ⅱ）因为，  所以.     
所以，即.…………9分
因为，即.       可得：.     ………10分
因为，且，
所以
. ……………12分
因为不等式对任意恒成立，
所以对任意恒成立. ……………13分
因为，且时，取得最大值，
所以. 所以的取值范围是.          ………15分

(1)先求出,进而求出,,再根据,建立关于的方程求解即可.
(II)在（I）的基础上，,然后根据此式，可求得，从而求出,
采用叠加的方法求得,
从而把不等式对任意恒成立转化为对任意恒成立的常规问题解决.
解：（Ⅰ）因为，
所以，，.………4分
由可知：.         
所以，，.
因为，  所以.
所以.         ……7分
（Ⅱ）因为，  所以.     
所以，即.…………9分
因为，即.       可得：.     ………10分
因为，且，
所以
. ……………12分
因为不等式对任意恒成立，
所以对任意恒成立. ……………13分
因为，且时，取得最大值，
所以. 所以的取值范围是.          ………15分