Question

已知点A、B、C在球心为O的球面上，△ABC的内角A、B、C所对边长为a，b，c，且a²=b²+c²+bc，a=

3

，球心O到截面ABC的距离为

3

，则该球的表面积为

16π

．

Answer 1

分析：利用余弦定理表示出cosA，把已知的等式a²=b²+c²+bc变形后代入，求出cosA的值，再由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而得到sinA的值，再由a，利用正弦定理求出三角形外接圆的半径，再由球心到截面ABC的距离d，利用勾股定理求出球的半径R，利用球的表面积公式S=4πR²即可求出该球的表面积．

解答：解：∵a²=b²+c²+bc，即b²+c²-a²=-bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=-

1

2

，又A为三角形的内角，
∴A=

2π

3

，
∴sinA=

3

2

，
由正弦定理得：2r=

a

sinA

=2，（r为△ABC的外接圆半径），
即r=1，
又球心O到截面ABC的距离d=

3

，
∴球的半径为R=

r2+d2

=2，
则该球的表面积S=4•π•R²=16π．
故答案为：16π

点评：此题考查了正弦、余弦定理，点、线、面之间距离的计算，以及特殊角的三角函数值，锻炼了学生的空间想象能力，其中正弦、余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键．