Question

已知点A、B、C在球心为O的球面上，△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且a²=b²+c²+bc，a=

3

，球心O到截面ABC的距离为

2

，则该球的表面积为

 

．

Answer 1

分析：根据书籍左中点A、B、C在球心为O的球面上，△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且a²=b²+c²+bc，a=

3

，我们可以根据余弦定理和正弦定理，求出△ABC的外接圆（截面圆）的半径，进而结合球心O到截面ABC的距离为

2

，我们可以求出球半径，代入球的表面积公式，即可求出答案．

解答：解：由已知中a²=b²+c²+bc，
易得cos∠A=

b2+c2-a2

2bc

=-

1

2

则∠A=

2π

3

则sin∠A=

3

2

则△ABC的外接圆半径有：2r=

a

sinA

=2
即△ABC的外接圆半径r=1
又∵球心O到截面ABC的距离为

2

故球的半径为R=

3

则该球的表面积S=4•π•R²=12π
故答案为：12π

点评：本题考查的知识点是球的表面积与正弦定理及余弦定理，其中根据已知条件计算出球的半径是解答本题的关键．