Question

已知函数f（x）=mx³-x²+13（m∈R）．
（1）当m=

1

3

时，求f（x）的极值；
（2）当m≠0时，若f（x）在（2，+∞）上是单调的，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把m=

1

3

代入函数f（x）=mx³-x²+13（m∈R），求得f（x）的表达式，对其进行求导得f′（x），并令f′（x）=0，即可求得极值；
（2）已知m≠0，对f（x）求导，因为f（x）在（2，+∞）上是单调的，可得f′（x）＜0或，f′（x）＞0在（2，+∞）上成立，从而求出m的取值范围．

解答：解：（1）当m=

1

3

时，由 f′（x）=x²-2x=0，得 x=0 或 x=2．
所以当x∈（-∞，0）时，f′（x）＞0；x∈（0，2）时，f′（x）＜0；
x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0．
因此x=0时，f（x）取极大值，f（x）_极大=f（0）=13；x=2时，
f（x）取极小值，f（x）_极小=f（2）=

35

3

．                             
（2）f′（x）=3mx²-2x，因为m≠0，所以f′（x）的图象是抛物线，与x轴始终有两个交点（0，0）与（

2

3m

，0）．
若f（x）在（2，+∞）上是单调的，即f（x）在（2，+∞）上恒有
f′（x）≥0 或f′（x）≤0．
当m＜0时，抛物线开口向下，与x轴正方向无交点，
在（2，+∞）上恒有f′（x）＜0；
当m＞0时，抛物线开口向上，与x轴正方向的交点为（

2

3m

，0），只需

2

3m

≤2，
解得m≥

1

3

．
综上，m的取值范围是（-∞，0）∪[

1

3

，+∞）．

点评：此题主要考查函数的单调性与导数的关系：若f′（x）＞0得f（x）为增函数，若f′（x）＜0得f（x）为减函数；