Question

数列{a_n}满足a1=1，a2=

2

3

，且

1

an+1

+

1

an-1

=

2

an

（n≥2），则a_n=

2

n+1

．

Answer 1

分析：根据

1

an+1

+

1

an-1

=

2

an

（n≥2），判断出数列{ 

1

an

}是以

1

a1

=1为首项，以

1

a2

-

1

a1

=

1

2

为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式求出

1

an

=1+(n-1)×

1

2

=

n+1

2

，进一步求出a_n=

2

n+1

．

解答：解：因为数列{a_n}满足a1=1，a2=

2

3

，且

1

an+1

+

1

an-1

=

2

an

（n≥2），
所以数列{ 

1

an

}是以

1

a1

=1为首项，以

1

a2

-

1

a1

=

1

2

为公差的等差数列，
所以

1

an

=1+(n-1)×

1

2

=

n+1

2

，
所以a_n=

2

n+1

．
故答案为

2

n+1

．

点评：本题考查通过构造新数列来求数列的通项公式，再求数列的通项公式时，应该根据所给通项公式的特点选择合适的求通项方法．