Question

已知在()的展开式中，第6项为常数项．

(1)求n；

(2)求含x²的项的系数；

(3)求展开式所有的有理项．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)通项公式为 Tr＋1=Cx(-3)rx-=C(-3)rx, 因为第6项为常数项， 所以，r＝5时有=0．即n＝10． (2)令=2．得r=(n-6)=2 ∴所求的系数为C(-3)2=405． (3)根据通项公式，由题意得          令＝k(k∈Z)， 则10-2r＝3k，即r=5-k． ∵r∈Z，∴k应为偶数，∴k可取2，0，-2即r可取2，5，8．所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C(-3)2x2,C(-3)4,C·（-3）8x-2 点评：(1)本题是先求二项式的指数，再求与通项有关的其他问题，一般地，解此类问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数．[求解时要注意二项式系数中”和r的隐含条件(n，r均为非负整数，n≥r)]；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．此外，解本题时，为减少计算中的错误，宜把根式化为分数指数幂． (2)题设展开式中有常数项的条件，实际上隐含了未知数的零次项的存在，所以n-2r：0，因此，由有常数项的条件可求得n．反之，若已知n，求展开式中常数项时，可先假设展开式的第r＋1项为常数项，合并通项公式中同一字母的指数得 f(r)，然后令f(r)＝0，从中求得r的非负整数值，即得所求的项． (3)所谓求二项展开式中的有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项．解这类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解．若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数．求解方式与求有理项一致． (4)由本题的第(2)题知，二项式系数与系数是两个不同的概念，本题中x2项的系数为405，而x2项的二项式系数为C=45，初学者要能区别，切不可混淆．