Question

已知点P是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的点，椭圆短轴长为2，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，|OP|=

10

2

，

PF1

•

PF2

=

1

2

（点O为坐标原点）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；
（Ⅱ）直线y=x与椭圆C在第一象限交于A点，若椭圆C上两点M、N使

OM

+

ON

=λ

OA

，λ∈（0，2）求△OMN面积的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）设P（x₀，y₀），F₁（-c，0），F₂（c，0）由|OP|=

10

2

，得x02+y02=

5

2

，…（1分）
由

PF1

•

PF2

=

1

2

得(-c-x0，-y0)?(c-x0，-y0)=

1

2

，即x02+y02-c2=

1

2

…（2分）
所以c=

2

，又因为短轴长为2，所以b=1，所以离心率e=

c

a

=

6

3

，…（4分）
椭圆C的方程为：

x2

3

+y2=1；…（6分）
（Ⅱ）解法一：由

y=x x2 3 +y2=1

得A(

3

2

，

3

2

)，设直线MN的方程为y=kx+m，
联立方程组

y=kx+m x2 3 +y2=1

消去y得：（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0…（7分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=-

6km

1+3k2

，x1x2=

3m2-3

1+3k2

…（8分）
所以y1+y2=k(x1+x2)+2m=

2m

1+3k2

．

因为

OM

+

ON

=λ

OA

，λ∈（0，2），所以x1+x2=

3

2

λ，y1+y2=

3

2

λ，
得kMN=-

1

3

，m=

3

3

λ，于是x1+x2=

3m

2

，x1x2=

9m2-9

4

…（9分）
所以|MN|=

1+(- 1 3 )2

|x1-x2|=

10

3

(x1+x2)2-4x1x2

=

10 ? 4-3m2

2

…（10分）
又因为λ＞0，原点O到直线MN的距离为d=

3 10 m

10

   所以S△OMN=

1

2

|MN|d=

10 ? 4-3m2

4

?

3 10 m

10

S△OMN=

1

2

|MN|d=

10 ? 4-3m2

4

?

3 10 m

10

=

3 ? (4-3m2)3m2

4

≤

3

2

，
当m=

6

3

，即λ=

2

时等号成立，S_△OMN的最大值为

3

2

…（13分）