已知x.y∈R且x.y满足方程x2+4y2=1.试求f(x.y)=3x+4y的最大值.最小值．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．已知x，y∈R且x，y满足方程x²+4y²=1，试求f（x，y）=3x+4y的最大值，最小值．

分析方程x²+4y²=1，化利用三角换元，进而可得3x+4y的三角函数形式，由三角函数最值可得结果．

解答解：∵x²+4y²=1，∴令x=cosθ，y=$\frac{1}{2}$sinθ，
∴f（x，y）=3x+4y=3cosθ+2sinθ=$\sqrt{13}$cos（θ-φ），其中tanφ=$\frac{2}{3}$，
∴f（x，y）=3x+4y的最大值，最小值为$\sqrt{13}$，$-\sqrt{13}$．

点评本题考查三角换元法求已知式子的最值，属基础题．

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6．设数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1a_n-a_n²=1（n∈N^*）
（I）若a₃=$\frac{5}{2}$，求实数a的值；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{\sqrt{n}}$（n∈N^*）．若a=1，求证$\sqrt{2}$≤b_n＜$\frac{3}{2}$（n≥2，n∈N^*）．

3．

如图所示，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，BA⊥AD，AD=CD=2AB=2PA=2，AB∥CD，E是PC的中点，F是DC上一动点，R是PB上一个动点．
（1）求证：当F是DC中点时，无论R在PB上的何处，都有平面BEF⊥平面RCD；
（2）若CF=2DF，当DR∥平面EFB时，求四棱锥R-ABCD的体积．

10．求证菱形的两条对角线互相垂直．

20．设空间两个单位向量$\overrightarrow{OA}$=（m，n，0），$\overrightarrow{OB}$=（0，n，p）与向量$\overrightarrow{OC}$=（1，1，1）的夹角都等于$\frac{π}{4}$，求cos∠AOB的值．

7．已知|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=6，＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{π}{4}$，求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．

4．函数y=f（x）是偶函数，且f（1）＞f（-2），则f（1）＞f（2）．

5．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，1），$\overrightarrow{b}$=（0，-2）．
（1）当k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角为120°时，求k的值；
（2）问：是否存在实数k使得k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$垂直？请给出理由．

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