Question

（2013•浙江模拟）已知函数f（x）=

(ax-1)2

2-x

，x∈（0，1]，它的一个极值点是x=

1

2

．
（Ⅰ） 求a的值及f（x）的值域；
（Ⅱ）设函数g（x）=e^x+4

x

-4x-a，试求函数F（x）=g（x）-f（x）的零点的个数．

Answer 1

分析：（I）先求导函数，然后根据x=

1

2

为函数f（x）的一个极值点，则f'（

1

2

）=0求出a的值，最后利用导数符号确定函数的极值点，代入原函数，求出值域即可；
（II）讨论函数F（x）=g（x）-f（x）的零点的个数，即讨论方程g（x）=f（x）根的个数．画出函数f（x）、g（x）在同一坐标系的大致图象，利用数形结合即可得出答案．

解答：解：（I）∵f′（x）=

2a(ax-1)(2-x)+(ax-1)2

(2-x)2

，
依题意得f'（

1

2

）=0，解得a=2或a=

2

7

．
当a=2时，所以f（x）=

(2x-1)2

2-x

，f（x）在区间（0，

1

2

]单调减，在区间（

1

2

，1]单调增，
所以当x=1时，函数f（x）取得最大值f（1）=1；当x=

1

2

时，函数f（x）取得最小值f（

1

2

）=0．
∴f（x）的值域[0，1]；
当a=

2

7

时，所以f（x）=

( 2 7 x-1)2

2-x

，f（x）在区间（0，

1

2

]单调减，在区间（

1

2

，1]单调增，
所以当x=1时，函数f（x）取得最大值f（1）=

25

49

；当x=

1

2

时，函数f（x）取得最小值f（

1

2

）=

24

49

．
∴f（x）的值域[

24

49

，

25

49

]；．…（6分）
（II）由（I）知，
当a=2时，所以f（x）=

(2x-1)2

2-x

，
∴讨论函数F（x）=g（x）-f（x）的零点的个数，即讨论方程g（x）=f（x）根的个数．
函数f（x）、g（x）在同一坐标系的大致图象如图所示，

f（x）在区间（0，

1

2

]单调减，在区间（

1

2

，1]单调增，
此时，两个函数的图象有两个交点，从而函数F（x）=g（x）-f（x）的零点的个数是2；
当a=

2

7

时，所以f（x）=

( 2 7 x-1)2

2-x

，f（x）在区间（0，

1

2

]单调减，在区间（

1

2

，1]单调增，
函数f（x）、g（x）在同一坐标系的大致图象如图所示，

f（x）在区间（0，

1

2

]单调减，在区间（

1

2

，1]单调增，
此时，两个函数的图象没有交点，从而函数F（x）=g（x）-f（x）的零点的个数是0．…（12分）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性，同时考查了分类讨论和数形结合的思想，属于中档题．