Question

在平面直角坐标系中，已知点P（1，-1），过点P作抛物线T₀：y=x²的切线，其切点分别为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（其中x₁＜x₂）。
（1）求x₁与x₂的值；
（2）若以点P为圆心的圆E与直线MN相切，求圆E的方程；
（3）过原点O（0，0）作圆E的两条互相垂直的弦AC，BD，求四边形ABCD面积的最大值。

Answer 1

解：（1）由y=x²可得y'=2x
∵直线PM与曲线T₀相切，且过点P（1，-1），
∴，即
∴或
同理可得：或
∵x₁＜x₂，
∴x₁=。
（2）由（1），可知x₁+x₂=2，x₁·x₂=-1，
则直线MN的斜率
∴直线M的方程为：y-y₁=（x₁+x₂）（x-x₁），
又，
∴
即2x-y+1=0
∵点P到直线MN的距离即为圆E的半径，
即
故圆E的方程为。
 （3）四边形ABCD的面积为
不妨设圆心E到直线AC的距离为d₁，垂足为E₁；
圆心E到直线BD的距离为d₂，垂足为E₂；
则，
由于四边形EE₁OE₂为矩形，且
 
所以
由基本不等式2ab≤a²+b²可得 
 
当且仅当d₁=d₂时等号成立。