题目内容

求过点（4， $数学公式$ ）的抛物线x²=4y的切线的方程．

解：设切点坐标为（x₀，x₀²），∵y= $\text{[math]}$ ，
y'|_x=x0= $\text{[math]}$ x₀，故切线方程为y-x₀²= $\text{[math]}$ x₀（x-x₀）
∵抛物线y= $\text{[math]}$ x²过点（4， $\text{[math]}$ ）
∴ $\text{[math]}$ -x₀²= $\text{[math]}$ x₀（ 4-x₀）解得x₀=1或2
故切点坐标为（1，1）或（2，4）
而切线又过点（4， $\text{[math]}$ ）
∴切线方程为 14x-4y-49=0或2x-4y-1=0．
分析：求过点的切线方程一般采取先设切点坐标，然后进行求解．本题先设出切点坐标，然后求出切线方程，将点P的坐标代入即可求出切点坐标，最后利用两点确定一直线求出切线方程即可．
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力、推理能力，属于基础题．

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已知抛物线G的顶点在原点，焦点在y轴正半轴上，点P（m，4）到其准线的距离等于5．
（I）求抛物线G的方程；
（II）如图，过抛物线G的焦点的直线依次与抛物线G及圆x²+（y-1）²=1交于A、C、D、B四点，试证明|AC|•|BD|为定值；
（III）过A、B分别作抛物G的切线l₁，l₂且l₁，l₂交于点M，试求△ACM与△BDM面积之和的最小值．

（2013•嘉兴二模）如图，已知抛物线C₁：x²=2py的焦点在抛物线C₂：y=

x2+1上．
（Ⅰ）求抛物线C₁的方程及其准线方程；
（Ⅱ）过抛物C₁上的动点P作抛物线C₂的两条切线PM、PN，切点M、N．若PM、PN的斜率积为m，且m∈[2，4]，求|OP|的取值范围．

如图，已知抛物线C₁：x²=2py的焦点在抛物线C₂： $数学公式$ 上．
（Ⅰ）求抛物线C₁的方程及其准线方程；
（Ⅱ）过抛物C₁上的动点P作抛物线C₂的两条切线PM、PN，切点M、N．若PM、PN的斜率积为m，且m∈[2，4]，求|OP|的取值范围．

已知抛物线G的顶点在原点，焦点在y轴正半轴上，点P（m，4）到其准线的距离等于5．
（I）求抛物线G的方程；
（II）如图，过抛物线G的焦点的直线依次与抛物线G及圆x²+（y﹣1）²=1交于A、C、D、B四点，试证明|AC|

|BD|为定值；
（III）过A、B分别作抛物G的切线l₁，l₂且l₁，l₂交于点M，试求△ACM与△BDM面积之和的最小值．

（本小题满分15分）

已知抛物线G的顶点在原点，焦点在y轴正半轴上，点P（m，4）到其准线的距离等于5。

（I）求抛物线G的方程；

（II）如图，过抛物线G的焦点的直线依次与抛物线G及圆交于A、C、D、B四点，试证明为定值；

（III）过A、B分别作抛物G的切线交于点M，试求面积之和的最小值。