Question

设函数f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是定义域R上的奇函数．
（1）若f（1）＞0，试求不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0的解集；
（2）若f(1)=

3

2

，且g（x）=a^2x+a^-2x-4f（x），求g（x）在[1，+∞）上的最小值．

Answer 1

∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）=0，∴k-1=0?k=1，
∴f（x）=a^x-a^-x
（1）∵f（1）＞0，∴a-a^-1＞0，a＞0，∴a＞1．
∴f（x）为R上的增函数
由f（x²+2x）+f（x-4）＞0得：f（x²+2x）＞f（4-x）
即：x²+3x-4＞0?x＜-4或x＞1．
即不等式的解集（-∞，-4）∪（1，+∞）．
（2）由f（1）=

3

2

得a=2，
由（1）可知f（x）为[1，+∞）上的增函数．
f（x）≥f（1）=

3

2

所以g（x）=a^2x+a^-2x-4f（x）=（f（x）-2）²-2≥-2（当f（x）=2时取等号）
故g（x）在[1，+∞）上的最小值-2．