题目内容
平面向量
=(
，-1)，
=(
，
)，若存在不同时为o的实数k和x，使
=
+(x2-3)
，
=-k
+x
，
⊥
．
（Ⅰ）试求函数关系式k=f（x）．
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的f（x），设h（x）=4f（x）-ax2在[1，+∞）上是单调函数．
①求实数a的取值范围；
②当a=-1时，如果存在x0≥1，h（x0）≥1，且h（h（x0））=x0，求证：h（x0）=x0．
| a |
| 3 |
| b |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| m |
| a |
| b |
| n |
| a |
| b |
| m |
| n |
（Ⅰ）试求函数关系式k=f（x）．
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的f（x），设h（x）=4f（x）-ax2在[1，+∞）上是单调函数．
①求实数a的取值范围；
②当a=-1时，如果存在x0≥1，h（x0）≥1，且h（h（x0））=x0，求证：h（x0）=x0．
分析：（Ⅰ）由
⊥
得
•
=0，把向量坐标代入化简整理即得答案；
（Ⅱ）①由h（x）在[1，+∞）上是单调函数及h′（x）的表达式，得h′（x）=3x2-3-2ax≥0在[1，+∞）上恒成立，分离参数后转化为函数最值即可解决；
②反证法：易判断h（x）在[1，+∞）上为单调增函数，假设1≤x0＜h（x0），由单调性可导出矛盾，同理1≤h（x0）＜x0也不成立；
| m |
| n |
| m |
| n |
（Ⅱ）①由h（x）在[1，+∞）上是单调函数及h′（x）的表达式，得h′（x）=3x2-3-2ax≥0在[1，+∞）上恒成立，分离参数后转化为函数最值即可解决；
②反证法：易判断h（x）在[1，+∞）上为单调增函数，假设1≤x0＜h（x0），由单调性可导出矛盾，同理1≤h（x0）＜x0也不成立；
解答：解：（Ⅰ）
2=4，
2=1，
•
=0，
由
=
+(x2-3)
，
=-k
+x
，且
⊥
．
得
•
=[
+(x2-3)
]•（-k
+x
）=-k
2+x
•
-k（x2-3）
•
+x（x2-3）
2=-4k+x（x2-3）=0，
所以k=
，即k=f（x）=
；
（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，h（x）=4f（x）-ax2=x3-3x-ax2，h′（x）=3x2-3-2ax，
因为h（x）在[1，+∞）上是单调函数，所以h′（x）=3x2-3-2ax≥0在[1，+∞）上恒成立，
亦即a≤
x-
在[1，+∞）上恒成立，
因为
x递增，-
递增，所以
x-
在[1，+∞）上递增，
所以
x-
≥
-
=0，
故a≤0，所以实数a的取值范围为a≤0；
②当a=-1时，h（x）=x3-3x+x2，h′（x）=3x2-3+2x，
当x≥1时，h′（x）＞0，所以h（x）在[1，+∞）上为单调增函数．
若1≤x0＜h（x0），则h（x0）＜h（h（x0））=x0矛盾，若1≤h（x0）＜x0，则h（h（x0））＜h（x0），即x0＜h（x0），矛盾，
故只有h（x0）=x0成立；
| a |
| b |
| a |
| b |
由
| m |
| a |
| b |
| n |
| a |
| b |
| m |
| n |
得
| m |
| n |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
| a |
| b |
所以k=
| x3-3x |
| 4 |
| x3-3x |
| 4 |
（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，h（x）=4f（x）-ax2=x3-3x-ax2，h′（x）=3x2-3-2ax，
因为h（x）在[1，+∞）上是单调函数，所以h′（x）=3x2-3-2ax≥0在[1，+∞）上恒成立，
亦即a≤
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2x |
因为
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2x |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2x |
所以
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2x |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
故a≤0，所以实数a的取值范围为a≤0；
②当a=-1时，h（x）=x3-3x+x2，h′（x）=3x2-3+2x，
当x≥1时，h′（x）＞0，所以h（x）在[1，+∞）上为单调增函数．
若1≤x0＜h（x0），则h（x0）＜h（h（x0））=x0矛盾，若1≤h（x0）＜x0，则h（h（x0））＜h（x0），即x0＜h（x0），矛盾，
故只有h（x0）=x0成立；
点评：本题考查平面向量数量积的运算、利用导数研究函数的单调性，考查学生的运算能力及分析解决问题的能力，难度较大．
练习册系列答案
相关题目