Question

设函数f（x）=cos（2x+

π

3

）+sin²x．
（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期．
（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=

1

3

，f（

C

3

）=-

1

4

，且C为非钝角，求sinA．

Answer 1

分析：（1）利用余弦的和角公式及正弦的倍角公式，把已知函数转化为y=Asin（ωx+φ）+B的基本形式即可；
（2）先由（1）与f（

C

3

）=-

1

4

求得C，再由正余弦互化公式求得答案．

解答：解：（1）f（x）=cos（2x+

π

3

）+sin²x=cos2xcos

π

3

-sin2xsin

π

3

+

1-cos2x

2

=

1

2

-

3

2

sin2x
∴函数f（x）的最大值为

1+ 3

2

，最小正周期π．
（2）f（

C

3

）=

1

2

-

3

2

sin

2C

3

=-

1

4

，∴sin

2C

3

=

3

2

，
∵C为三角形内角，∴

2C

3

=

π

3

，∴C=

π

2

，
∴sinA=cosB=

1

3

．

点评：本题考查和角公式、倍角公式及正余弦互化公式，同时考查形如y=Asin（ωx+φ）+B的函数的性质．