Question

已知函数f（x）=x²-x+a+1
（1）若f（x）≥0对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．
（2）求f（x）在区间（-∞，a]上的最小值g（a）的表达式．

Answer 1

分析：（1）根据题意，函数图象对应的抛物线开口向上且与x轴不相交，由此结合根的判别式建立关于a的不等式，解之即可得到实数a的取值范围；
（2）因为函数的图象对应的抛物线开口向上，关于直线x=

1

2

对称，所以分a≤

1

2

和a＞

1

2

时两种情况加以讨论，结合二次函数的单调性进行求解，即可得到f（x）在区间（-∞，a]上的最小值g（a）的表达式．

解答：解：（1）∵二次函数f（x）=x²-x+a+1，且f（x）≥0对一切实数x恒成立，
∴△=（-1）²-4（a+1）≤0，即-4a-3≤0，解之得a≥-

3

4

因此，实数a的取值范围是[-

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，+∞）．
（2）配方，得f（x）=x²-x+a+1=（x-

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2

）²+a+

3

4

①当a≤

1

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时，函数在（-∞，a]上为减函数，所以最小值为f（a）=a²+1=g（a）；
②当a＞

1

2

时，函数在（-∞，

1

2

]上为减函数，在（

1

2

，a]上是增函数
此时，f（x）的最小值为f（

1

2

）=a+

3

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因此f（x）在区间（-∞，a]上的最小值g（a）的表达式为：
g（a）=.

a2+1       (a≤ 1 2 ) a+ 3 4          (a＞ 1 2 )

．

点评：本题给出含有字母参数a的二次函数，讨论函数恒成立并求函数在区间（-∞，a]上的最小值．着重考查了二次的图象与性质、分类讨论的思想和分段函数等知识，属于基础题．