Question

如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面底面ABCD，且，若E，F分别为PC，BD的中点．

（1）求证：平面PAD；

（2）求证：平面PDC平面PAD；

（3）求四棱锥的体积．

 

Answer 1

【答案】

（1）先证，再根据线面平行的判定定理即可证明；

（2）先证，进而证明，再根据面面垂直的判定定理即可证明；

（3）

【解析】

试题分析：（1）连接EF，AC

∵四棱锥中，底面ABCD是边长为a的正方形且点F为对角线BD的中点，         

∴对角线AC经过F点，                                                      ……1分

又在中，点E为PC的中点，

∴EF为的中位线，

∴，                                                                  ……2分

又，                                                 ……3分

∴平面PAD.                                                               ……4分

（2）∵底面ABCD是边长为的正方形 

∴   ，                                                                 ……5分

又侧面底面ABCD，，侧面底面ABCD=AD，

∴.                                                           ……7分

又

∴平面PDC平面PAD .                                                         ……8分

（3）过点P作AD的垂线PG，垂足为点G，

∵侧面底面ABCD，，侧面底面ABCD=AD，

∴，即PG为四棱锥的高，                            ……9分

又且AD=a，

∴ ，                                                                 ……10分

∴ 。                          ……12分

考点：本小题主要考查线面平行、面面垂直的证明和体积的计算.

点评：证明线面平行、面面垂直时要紧扣相应的判定定理和性质定理，定理中的条件要一一列出来，缺一不可，如证明线面平行时，要强调.