Question

已知数列{a_n}中，an=250•(

1

3

)n，n∈N*，则{a_n}的前

5

项乘积最大．

Answer 1

分析：先求解出S_n，根据数列的单调性可知，若使S_n最大，则

Sn≥Sn+1 Sn≥Sn-1

，代入整理可求n的值

解答：解：由题意可得，S_n=a₁•a₂…a_n
=250n•([

1

3

•(

1

3

)2…(

1

3

)n]
=250n•(

1

3

)1+2+…+n
=250n•(

1

3

)

n(1+n)

2

若使S_n最大则

Sn≥Sn+1 Sn≥Sn-1

代入可得，

250n•(  1 3 ) n(n+1) 2 ≥250n+1• ( 1 3 )  (n+1)(n+2) 2 250n•(  1 3 ) n(n+1) 2 ≥250n-1• (  1 3 ) n(n-1) 2

整理可得，3ⁿ≤250，3ⁿ⁺¹≥250，因为n∈N^*
所以，n=5
故答案为：5

点评：本题主要考查了利用数列的单调性求解项的最大（最小）值的问题，解决的关键是由若使S_n最大，可得

Sn≥Sn+1 Sn≥Sn-1

，这是数列单调性的应用．