题目内容

过点Q（-2， $数学公式$ ）作圆C：x²+y²=r²（r＞0）的切线，切点为D，且QD=4．
（1）求γ的值；
（2）设P是圆C上位于第一象限内的任意一点，过点P作圆C的切线l，且l交x轴于点A，交y 轴于点B，设 $数学公式$ = $数学公式$ + $数学公式$ ，求| $数学公式$ |的最小值（O为坐标原点）．

解：（1）圆C：x²+y²=r²（r＞0）的圆心为O（0，0），则
∵过点Q（-2， $\text{[math]}$ ）作圆C：x²+y²=r²（r＞0）的切线，切点为D，且QD=4
∴r=OD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =3；
（2）设直线l的方程为 $\text{[math]}$ （a＞0，b＞0），即bx+ay-ab=0，则A（a，0），B（0，b），
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ =（a，b），∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵直线l与圆C相切，∴ $\text{[math]}$
∴3 $\text{[math]}$ =ab≤ $\text{[math]}$
∴a²+b²≥36
∴ $\text{[math]}$
当且仅当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最小值为6．
分析：（1）利用圆的切线的性质，结合勾股定理，可求r的值；
（2）设出直线方程，利用 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，表示出 $\text{[math]}$ ，求出模长，利用基本不等式即可求得结论．
点评：本题考查圆的切线的性质，考查向量知识的运用，考查基本不等式，属于中档题．