Question

已知集合,，设是等差数列的前项和,若的任一项,首项是中的最大数, 且.

（1）求数列的通项公式;

（2）若数列满足，令，试比较与的大小.

Answer 1

解: （Ⅰ）根据题设可得: 集合中所有的元素可以组成以为首项,为公差的递减等差数列；集合中所有的元素可以组成以为首项,为公差的递减等差数列.

由此可得,对任意的,有

中的最大数为,即       

设等差数列的公差为,则,

因为, ,即

由于中所有的元素可以组成以为首项,为公差的递减等差数列

所以,由，所以

所以数列的通项公式为（）

（Ⅱ）

于是确定与的大小关系等价于比较与的大小

由，，，，

可猜想当时， 

证明如下：

证法1：（1）当时，由上验算可知成立.

（2）假设时，，

则

所以当时猜想也成立

根据（1）（2）可知 ，对一切的正整数，都有

当时，，当时 

证法2：当时

当时，，当时