Question

已知x²+4y²+kz²=36，（其中k＞0）且t=x+y+z的最大值是7，则 k=

 

．

Answer 1

分析：分析题目已知x²+4y²+kz²=36，求x+y+z的最大值．考虑到应用柯西不等式（ax+by+cz）²≤（a²+b²+c²）（x²+y²+z²），首先构造出柯西不等式求出（x+y+z）²的最大值，开平方根即可关于k的方程，从而得到答案．

解答：解：因为已知x²+4y²+kz²=36根据柯西不等式（ax+by+cz）²≤（a²+b²+c²）（x²+y²+z²）构造得：
即（x+y+z）²≤（x²+4y²+kz²）（1²+（

1

2

）²+(

1

k

)²）=36×[1²+（

1

2

）²+(

1

k

)²]=49．
故k=9．
故答案为：9．

点评：此题主要考查柯西不等式的应用问题，对于此类题目有很多解法，但大多数比较繁琐，而用柯西不等式求解非常简练，需要同学们注意掌握．