Question

设各项均为正数的数列的前项和为,满足且构成等比数列．(1) 证明:；(2) 求数列的通项公式；(3) 证明:对一切正整数,有.

Answer 1

（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.

试题分析：（1）对于取n=1，可得到与的关系，即可证得；（2）当时，有，可得到的与的关系式，从而可知等差数列的公差，又由构成等比数列，从而可求出基本量，即可写出其通项公式；（3）裂项：，以下用裂项相消法，即可化简题中左式，从而证得不等式.
试题解析：（1）当时，，；
（2）当时，，；,，
当时，是公差的等差数列．构成等比数列，，，解得,由（1）可知，，是首项,公差的等差数列．数列的通项公式为.
（3）与的关系：，等差数列的定义，等比中项，裂项相消求和法，特殊到一般思想，化归思想.