Question

在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，

AB

•

AC

=8，∠BAC=θ，a=4．
（1）求b•c的最大值及θ的取值范围；
（2）求函数f(θ)=

3

sin2θ+cos2θ+1的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）向量的数量积，利用余弦定理求出b²+c²=32，通过基本不等式求b•c的最大值及θ的取值范围；
（2）利用二倍角的正弦函数化简函数f(θ)=

3

sin2θ+cos2θ+1 为一个角的三角函数的形式，通过角的范围正弦函数的最值求出函数的最大值和最小值．

解答：解（1）bc•cosθ=8，b²+c²-2bccosθ=4²即b²+c²=32…（2分）
又b²+c²≥2bc所以bc≤16，即bc的最大值为16 …（4分）
即

8

cosθ

≤16所以 cosθ≥

1

2

，又0＜θ＜π所以0＜θ≤

π

3

…（6分）
（2）f(θ)=

3

sin2θ+cos2θ+1=2sin(2θ+

π

6

)+1…（9分）
因0＜θ≤

π

3

，所以

π

6

＜2θ+

π

6

≤

5π

6

，

1

2

≤sin(2θ+

π

6

)≤1…（10分）
当2θ+

π

6

=

5π

6

即θ=

π

3

时，f(θ)min=2×

1

2

+1=2…（11分）
当2θ+

π

6

=

π

2

即θ=

π

6

时，f（θ）_max=2×1+1=3…（12分）

点评：本题考查三角函数的化简求值，余弦定理的应用，掌握正弦函数的基本性质，是解好本题的关键．