Question

数列{a_n}满足S_n=2n－a_n，先计算数列的前4项，再猜想a_n并证明之.

Answer 1

解：由a₁=2－a₁得a₁=1；

由a₁+a₂=2×2－a₂，得a₂=；

由a₁+a₂+a₃=2×3－a₃，得a₃=；

由a₁+a₂+a₃+a₄=2×4－a₄，得a₄=.

猜想a_n=.

下面证明猜想正确.

（1）当n=1时，由上面的计算可知猜想是成立的.

（2）假设当n=k时猜想成立，就是a_k=，

此时S_k=2k－a_k=2k－.

当n=k+1时，由S_k+1=2（k+1）－a_k+1得

S_k+a_k+1=2（k+1）－a_k+1.

∴a_k+1=［2（k+1）－S_k］

=k+1－（2k－）=.

这就是说，当n=k+1时，等式也成立.

由（1）和（2）可以断定，a_n=对任意正整数n都成立.

点评：通过此例可看到观察、归纳、猜想、证明的思想方法.其基本思路是：在探讨某些问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点形成解决问题的初步思路；然后用归纳方法进行试探，提出猜想；最后用数学归纳法给出证明.