Question

（2010•九江二模）已知曲线f(x)=

1

3

x3+

4

3

，(x∈R)，则过点P（2，f（2））的切线方程为（　　）

A．4x-y-4=0

B．x-y+2=0

C．8x-y-12=0或x-y+2=0

D．4x-y-4=0或x-y+2=0

Answer 1

分析：设出曲线过点P切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到导函数中即可表示出切线的斜率，然后利用点斜式表示出切线方程，将点P（2，4）代入可求出切点坐标，从而求出过点P（2，f（2））的切线方程．

解答：解：f（2）=4
设曲线 y=

1

3

x3+

4

3

与过点P（2，4）的切线相切于点A（x₀，

1

3

x03+

4

3

），
则切线的斜率 k=y′|x=x0=x02，
∴切线方程为y-（

1

3

x03+

4

3

）=x₀²（x-x₀），
即 y=

x

2 0

•x-

2

3

x

3 0

+

4

3

∵点P（2，4）在切线上，
∴4=2x₀²-

2

3

x03+

4

3

，即x₀³-3x₀²+4=0，
∴x₀³+x₀²-4x₀²+4=0，
∴（x₀+1）（x₀-2）²=0
解得x₀=-1或x₀=2
故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0．
故选D．

点评：本题主要考查了学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；同时解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决．