题目内容
函数f（x）=ax3+blog2(x+
)+2在（-∞，0）上有最小值-5，a，b为常数，则f（x）在（0，+∞）上的最大值为（ ）
| x2+1 |
分析：先令g（x）=ax3+blog2（x+
），判断其奇偶性，再由函数f（x）=ax3+blog2（x+
）+2在（-∞，0）上有最小值-5，得到函数g（x）在（-∞，0）上有最小值-7，从而有g（x）在（0，+∞）上有最大值7，则由f（x）=g（x）+2得到结论．
| x2+1 |
| x2+1 |
解答：解：令g（x）=ax3+blog2（x+
），其定义域为R，
又g（-x）=a（-x）3+blog2（-x+
）
=-[ax3+blog2（x+
）]=-g（x），
所以g（x）是奇函数．
根据题意：f（x）=ax3+blog2(x+
)+2在（-∞，0）上有最小值-5，
所以函数g（x）在（-∞，0）上有最小值-7，
所以函数g（x）在（0，+∞）上有最大值7，
所以f（x）=g（x）+2在（0，+∞）上有最大值9．
故选A．
| x2+1 |
又g（-x）=a（-x）3+blog2（-x+
| (-x)2+1 |
=-[ax3+blog2（x+
| x2+1 |
所以g（x）是奇函数．
根据题意：f（x）=ax3+blog2(x+
| x2+1 |
所以函数g（x）在（-∞，0）上有最小值-7，
所以函数g（x）在（0，+∞）上有最大值7，
所以f（x）=g（x）+2在（0，+∞）上有最大值9．
故选A．
点评：本题主要考查函数的构造进而研究性质，若看到x与-x这样的信息，一般与函数的奇偶性有关．
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