Question

已知椭圆过点（0，1），且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅰ）A，B为椭圆C的左右顶点，直线与x轴交于点D，点P是椭圆C上异于A，B的动点，直线AP，BP分别交直线l于E，F两点．证明：当点P在椭圆C上运动时，|DE|·|DF|恒为定值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意可知，b=1，
又因为e=，且a²=b²+c²，解得a=2，
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）由题意可得：A（﹣2，0），B（2，0）．
设P（x₀，y₀），由题意可得：﹣2＜x₀＜2，
所以直线AP的方程为，令，则，
即；
同理：直线BP的方程为，
令，则，
即；
所以=而，
即4y₀²=4﹣x₀²，代入上式，
所以|DE|·|DF|=1，
所以|DE|·|DF|为定值1．