题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 过点（0，1），且离心率为 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）A，B为椭圆C的左右顶点，直线 $数学公式$ 与x轴交于点D，点P是椭圆C上异于A，B的动点，直线AP，BP分别交直线l于E，F两点．证明：当点P在椭圆C上运动时，|DE|•|DF|恒为定值．

解：（Ⅰ）由题意可知，b=1，
又因为e= $\text{[math]}$ ，且a²=b²+c²，
解得a=2，
所以椭圆的方程为 $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）由题意可得：A（-2，0），B（2，0）．设P（x₀，y₀），由题意可得：-2＜x₀＜2，
所以直线AP的方程为 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ；
同理：直线BP的方程为 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ；
所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
而 $\text{[math]}$ ，即4y₀²=4-x₀²，代入上式，
所以|DE|•|DF|=1，
所以|DE|•|DF|为定值1．
分析：（Ⅰ）由题意可知：b=1，因为e= $\text{[math]}$ ，且a²=b²+c²，可得a的值，进而求出椭圆的方程．
（Ⅱ）由题意可得：A（-2，0），B（2，0）．设P（x₀，y₀），由题意可得：-2＜x₀＜2，分别写出直线AP与直线BP的方程，再求出E、F两点的纵坐标，即可求出|DE|•|DF|的表达式，然后利用点P在椭圆上即可得到|DE|•|DF|为定值1．
点评：本题考查了由椭圆的性质求椭圆的方程，以及直线的方程与直线与直线的交点问题，要求有较高的计算能力，是中档题．