Question

【题目】已知函数，且.

（1）求实数的值，并指出函数的定义域；

（2）将函数图象上的所有点向右平行移动1个单位得到函数的图象，写出函数的表达式；

（3）对于（2）中的，关于的函数在上的最小值为2，求的值.

Answer 1

【答案】(1)；定义域；(2)；(3).

【解析】

（1）根据，结合对数运算，即可求得参数；由真数大于零，即可求得定义域.

（2）根据左加右减的平移原则，即可容易求得；

（3）利用换元法，将问题转化为求二次函数最小值的问题，根据动轴定区间问题的处理方式，分类讨论即可.

（1）因为，且，

故可得，解得.

故，要使得函数有意义，

则，解得，

故函数的定义域为.

（2）图象上的所有点向右平行移动1个单位得到函数的图象，

又因为，

故可得.

（3）由（2）可知，

故等价于：

，

令，则

则在上的最小值为.

又因为其对称轴为，

①当时，二次函数在上单调递增，

故，不符合题意，故舍去；

②当时，二次函数在单调递减，在单调递增，

故，解得，

故此时满足题意的；

③当时，二次函数在上单调递减，

故，解得，故舍去.

综上所述：.