Question

设n是正整数，如果1，2，3，…，2n的一个排列x₁，x₂，x₃，…，x_2n满足：在{1，2，…2^n-1}中至少有一个i使得|x_i-x_i+1|=n，则称排列x₁，x₂，x₃，…，x_2n具有性质P．
（Ⅰ）当n=2时，写出4个具有性质P的排列；
（Ⅱ）求n=3时不具有性质P的排列的个数；
（Ⅲ）求证：对于任意n，具有性质P的排列比不具有性质P的排列多．

Answer 1

分析：（I）根据x₁，x₂，x₃，…，x_2n具有性质P定义，可得n=2时，只要1，3或2，4相邻即可；
（II）当n=3时，1，2，3，4，5，6的全排列数为

A

6 6

； 1，4；2，5；3，6三对数中，至少有一对相邻的排列数为

C

1 3

A

2 2

A

5 5

；至少有两对相邻

C

2 3

A

2 2

A 2 2 A

4 4

；三对全相邻

A

3 3

A

2 2

A 2 2 A

2 2

，相减可得答案．
（III）记A={（x₁，x₂，x₃，…，x_2n）|（x₁，x₂，x₃，…，x_2n）具有性质P}，B={（x₁，x₂，x₃，…，x_2n）|（x₁，x₂，x₃，…，x_2n）不具有性质P}，C={（x₁，x₂，x₃，…，x_2n）|恰有某一个i使得|x_i-x_i+1|=n，i≠1}，分析A中元素与B中元素个数的关系，可得答案．

解答：解：（I）当n=2时，具有性质P的排列有：
（2，1，3，4）；（2，3，1，4）；（4，1，3，2），（4，3，1，2）
（II）当n=3时，1，2，3，4，5，6的全排列数为

A

6 6

； 1，4；2，5；3，6三对数中，至少有一对相邻的排列数为

C

1 3

A

2 2

A

5 5

；至少有两对相邻

C

2 3

A

2 2

A 2 2 A

4 4

；三对全相邻

A

3 3

A

2 2

A 2 2 A

2 2

所以，n=3时不具有性质P的排列的个数共有：

A

6 6

-

C

1 3

A

2 2

A

5 5

-

C

2 3

A

2 2

A 2 2 A

4 4

-

A

3 3

A

2 2

A 2 2 A

2 2

=240；
证明：（III）记A={（x₁，x₂，x₃，…，x_2n）|（x₁，x₂，x₃，…，x_2n）具有性质P}
B={（x₁，x₂，x₃，…，x_2n）|（x₁，x₂，x₃，…，x_2n）不具有性质P}
C={（x₁，x₂，x₃，…，x_2n）|恰有某一个i使得|x_i-x_i+1|=n，i≠1}
显然C是A的子集，而且（n+1，1，2，…，n，n+2，…，2n）∈A，（n+1，1，2，…，n，n+2，…，2n）∉C，
所以C是A的真子集，所以A中元素个数大于C中元素个数；
考虑B中任一元素（y₁，y₂，y₃，…，y_2n），则|y₂-y₁|≠n，因此与y₁相差n的数一定是某个y_k，（k＞2）
把y₁放到y_k的左边得到一个新排列（y₂，y₃，…，y_k-1，y₁，y_k，…，y_2n），这个排列一定是C的元素，
作映射（y₁，y₂，y₃，…，y_2n），→（y₂，y₃，…，y_k-1，y₁，y_k，…，y_2n），
不难证明这是一一对应，所以C中元素个数等于B中元素个数
综上A中元素个数大于B中元素个数
即对于任意n，具有性质P的排列比不具有性质P的排列多

点评：本题考查的知识点是排列，组合，正确理解新定义x₁，x₂，x₃，…，x_2n具有性质P的含义，是解答的关键．